FISIKA SIMULASI III - Difusi Suhu Dua Dimensi

       Ditinjau penghantar panas persegi dengan luas penampang L × L yang terletak di bidang xy dengan salah satu sudutnya terletak di pusat koordinat seperti disajikan pada Gambar 1. Penghantar ini dipandang sebagai tampang lintang (cross section) penghantar tiga dimensi yang panjangnya tak hingga dan homogen dalam arah panjangnya. Mula-mula penghantar bertemperatur To. Pada saat t = 0, sisi penghantar yang terletak di x = L dan di y = L secara bersamaan ditempelkan pada reservoir bertemperatur Tb dimana Tb > To. Sementara pada sisi penghantar yang terletak di x = 0 dan di y = 0 dijaga sedemikian rupa sehingga tidak ada aliran kalor. Selanjutnya akan dicari keadaan sistem pada saat t.

Gambar 1. Sistem fisis yang ditinjau

Persamaan yang sesuai dengan keadaan sistem fisis tersebut adalah persamaan difusi yang berbentuk

dengan  

           

Proses difusi suhu dua dimensi dapat diselesaikan secara numerik dengan menggunakan bahasa pemrograman fortran. Pertama-pertama kita membuatnya menjadi bentuk diskrit agar lebih mudah dihitung.

  

 Syarat Stabilitas

 Syarat stabilitas terpenuhi dengan rumus

 Sehingga diperoleh pilihan hx = 0,1 dan dx = 0,0025

Script program menggunakan Fortran

---------------------------------------------------------------------

PROGRAM DIFUSI2D

!Deklarasi Variabel

IMPLICIT NONE

INTEGER, PARAMETER:: imax = 1000, jmax = 1000

  CHARACTER(36)    :: label

  

  REAL           :: L,dt,hx,perhx,perhx2,meanT,D 

  INTEGER :: i,j,nwrite,nsave,tmax,n,nn,Nx,Ny

  REAL           :: T(1:imax,1:jmax)

  INTEGER           :: X(1:imax,1:jmax),Y(1:imax,1:jmax)

    

!Input

L = 1

 D = 1

dt = 0.0025

 hx = 0.1

perhx = 1/hx

perhx2 = perhx*perhx

Nx = L/hx

Ny = Nx

tmax = 4000000

 nwrite = 50

 nsave = 200

 !perintah membuat file baru

OPEN(80,FILE='data.csv',STATUS='NEW',FORM='FORMATTED')

 !isi file baru

WRITE(80,*) 'n,','dt*n,','meanT'

CLOSE(80)

!Syarat awal T

DO j = 1, Ny+1

 DO i =1, Nx+1

T(i,j) = 0

 END DO

END DO

 DO j = 1, Ny

   T(Nx+1,j) = 1

END DO

    

 DO i = 1, Nx

   T(i,Ny+1) = 1

END DO

    

 T(Nx+1,Ny+1) = 1

PRINT*, ' Bismillaahirrahmaanirrahiim....'

DO n = 1, tmax

    

!Menghitung

DO j = 2, Ny

DO i = 2, Nx

T(i,j) = (D*dt/perhx2)*(T(i1,j)+T(i+1,j)+T(i,j-

           1)+T(i,j+1)-4*T(i,j))+T(i,j);

END DO

END DO

        

DO j = 2, Ny

 T(1,j) = T(1,j)+2*D*dt/perhx2*(T(2,j)-T(1,j))+dt/perhx2*

         (T(1,j-1)-2*T(1,j)+T(1,j+1));

END DO

    

DO i = 2, Nx

 T(i,1) = T(i,1)+2*D*dt/perhx2*(T(i,2)-T(i,1))+dt/perhx2*(T(i-

          1,1)-2*T(i,1)+T(i+1, 1));

END DO

        

T(1,1) = 0.5*(T(2,1)+T(1,2));

        

meanT = 0

DO i = 1, Nx+1

 DO j = 1, Ny+1

  meanT = meanT + T(i,j) 

 END DO

END DO

meanT = meanT/((Nx+1)*(Ny+1))

        

IF (MOD(n,nwrite) < 1) THEN  

 PRINT*, '---------------------------------------------'

 WRITE(*,  ' (T2, A, T30, I20)')'n             :',n

 WRITE(*,  ' (T2, A, T30, F12.5)')'T           :',meanT          

END IF

IF (MOD(n,nsave) < 1) THEN

PRINT*, '-------------------------------------------'

PRINT*, ' S a v e data '

WRITE(*,  ' (T2, A, T30, F12.5)')'T         :',meanT

  !Menyimpan n, dt*n, meanT

OPEN (80,ACCESS='APPEND',FILE='data.csv',FORM='FORMATTED')

WRITE (80, 81) n, dt*n , meanT

81 FORMAT (i8',',F10.3',', F7.5)

CLOSE(80)

nn = n + 70000000

!Menyimpan T 

WRITE (Label, 51) 'T', nn

51 FORMAT (A, i8,'.csv')

OPEN (11, file = Label)

DO i = 1, (Nx+1)

DO j = 1,(Ny+1)

X(i,j) = i

Y(i,j) = j

WRITE (11,31) X(i,j), Y(i,j), T(i,j)

31 FORMAT(i5',',i5',',F7.5)

END DO

END DO

CLOSE (11)

    

  END IF

END DO

PRINT*,'----------------------------------------------'

PRINT*,"ALHAMDULILLAH"

PRINT*,"Perhitungan telah selesai"

PRINT*,'----------------------------------------------'

END PROGRAM DIFUSI2D

---------------------------------------------------------------------

Selanjutnya data meanT dengan variasi D 'data.csv' dibuka di software PARAVIEW, dan dibuat grafik seperti di bawah ini.

dan untuk data suhu 'T7.csv' dibuka di software PARAVIEW, dan dibuat video seperti di bawah ini.

FISIKA SIMULASI III - Difusi Suhu Satu Dimensi

Difusi dapat diartikan sebagai perambatan energi dari konsentrasi tinggi ke konsentrasi rendah. Difusi akan terus terjadi hingga seluruh partikel tersebar luas secara merata atau mencapai keadaan kesetimbangan dimana perpindahan molekul tetap terjadi walaupun tidak ada perbedaan konsentrasi. Perambatan energi panas pada besi atau logam merupakan salah satu contoh proses difusi suhu.

Persamaan difusi

dengan D adalah tetapan difusi.

Proses difusi suhu satu dimensi dapat diselesaikan secara numerik dengan menggunakan bahasa pemrograman matlab. Pertama-pertama kita membuatnya menjadi bentuk diskrit agar lebih mudah dihitung.

Pada sistem fisis ini kita asumsikan:
L   = 1     (panjang besi/logam)
TL  = 70    (suhu pada bagian x = 1)
TR  = 90   (suhu pada x = nx+1)
To  = 27   (suhu mula-mula batang logam)
Hx = 0.1
dt = 1 
untuk n tertentu maka berlaku

Script program menggunakan Matlab

---------------------------------------------------------------------

clear all;

clc;

L = 1; %panjang bahan 

D = 1; %konstanta difusi

dt = 0.1;

hx = 0.1;

perhx = 1/hx;

perhx2 = perhx*perhx;

Nx = L/hx;

tmax = 130000;

T(1)=70;

T(Nx+1)=90;

x(1)=0;

x(Nx+1)=1;

for i=2:Nx

 T(i)=27;

 x(i)=(i-1)*hx;

end

for tn = 1:tmax

 for i = 2:Nx

  T(i) = (D*dt/perhx2)*(T(i+1)-2*T(i)+T(i-1))+T(i);

 end

    

 for m=1:1300

  n=m*100;

  if ((n==tn) || (tn==1))

   suhu=[x' T'];

   csvwrite (['difusi_' num2str(tn) '.csv'],suhu,0,0); %perintah untuk menyimpan 'suhu'

  end

 end

end

---------------------------------------------------------------------

Selanjutnya data 'suhu' dibuka di software PARAVIEW, dan dibuat video seperti di bawah ini.